考研数学解题的快捷思维定理,王莉中业考研数

来源:http://www.yeonsanspa.com 作者:必威教育 人气:109 发布时间:2019-05-07
摘要:马克思主义哲学认为,世间万物存在或者运动都是有规律可循的。掌握了规律,认识事物就会更加地简便和透彻。同样,运用到考研上,掌握出题者的规律就会了解各种题型,了解各种

  马克思主义哲学认为,世间万物存在或者运动都是有规律可循的。掌握了规律,认识事物就会更加地简便和透彻。同样,运用到考研上,掌握出题者的规律就会了解各种题型,了解各种题型的解题思路,就会更快捷地获得高分。那么,在考研数学的解题思路上有哪些更快捷的定理呢?让我们一起来看一下。

原标题:王莉中业考研数学老师解答概率论的不同思路

本文主要介绍概率与数理统计中的一些常见的基本概念。

  高等数学部分

中业考研王莉老师称,面对“思路在答题过程中占据着至关重要地位”的考研科目--数学,在备战的过程中,一定要掌握不同的解题方法和思路;这样才能在解答复杂的考题时,最大限度的提高做题效率。

样本空间

对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验的结果,但是试验的所有可能结果集合是已知的,我们将随机试验E的所有可能的结果组成的集合称为E的样本空间,记为S。样本空间的的元素,即E的每个可能结果,称为样本点。比如事件E:抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况,S={H,T}。

 

  1.在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导,“不管三七二十一”,把f(x)在指定点展成泰勒公式。

1、欲求二维随机变量(X,Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率,应该马上联想到二重积分的计算,其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分

频率(Frequency) 概率(Probability)

频率描述了事件发生的频繁程度,一般采用多次试验的结果得到。

概率描述的是一次试验中,事件发生的可能性大小。

如果试验的次数足够多,频率将在一定意义下接近于概率。

 

  2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时,则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下。

2、若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生,则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键:寻找完备事件组。

条件概率(Conditional Probability)

设A,B是两个事件,且P(A)>0,称:

 $large P(B|A) = frac {P(AB)}{P(A)}$

为事件A发生的条件下事件B发生的概率。

 

  3.在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0,则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理。

3、涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题,马上要联想到对X作(0-1)分解。

乘法定理(Product rule)

设P(A)>0,则:

$large P(AB)=P(B|A)P(A)$

$large P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$

这个定理也很容易推广到多个事件的情况

 

  4.对定限或变限积分,若被积函数或其主要部分为复合函数,则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)。

4、如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率,则马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时,用对立事件的概率公式。

加法定理(Sum rule)

设试验E的样本空间为S,A为E的事件,$B_1$,$B_2$,$ldots$,$B_n$为S的一个划分,且 $P(B_i)>0$,则:

$large P(A) = P(A|B_1)P(B_1) P(A|B_2)P(B_2) ldots P(A|B_n)P(B_n) $

 

  线性代数部分

5、凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题,马上联想到用中心极限定理处理。

贝叶斯公式(Bayes' theorem)

$large P(B_i|A) = frac {P(A|B_i)P(B_i)}{sum_{j=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)}$

 

  1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关,则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E 。

6、若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验,则马上联想到Bernoulli试验,及其概率计算公式。

先验概率(Prior probability) 后验概率(Posterior probability)

例子:某种设备,调整良好时,产品合格率为90%,发生故障时,合格率为30%,每天早上开工时,设备调整良好的概率为75%,已知早上第一件产品是合格品,问设备调整良好的概率是多少?如果定义事件A为产品合格,事件B为设备调整良好,显然有P(A|B)=0.9,P(A|B')=0.3,P(B)=0.75,P(B')=0.25,要求的是P(B|A)。P(B)称为先验概率,是根据以往的经验数据得到的,P(B|A)是得到了第一件产品为合格品之后对P(B)做的修正,称为后验概率,后验概率让我们对设备的情况有了更进一步的了解。

 

  2.若涉及到A、B是否可交换,即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

7、求二维随机变量(X,Y)的边缘分布密度的问题,应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域,然后定出X的变化区间,再在该区间内画一条//y轴的直线,先与区域边界相交的为y的下限,后者为上限,而Y的求法类似。

独立事件

如果A,B两个事件满足

$large P(AB)=P(A)P(B)$

称A,B为互相独立的事件。这个式子也很容易推广到多个事件的情况。

 

  3.若题设n阶方阵A满足f(A)=0,要证aA bE可逆,则先分解出因子aA bE再说。4.若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关,先考虑用定义。

8、若为总体X的一组简单随机样本,则凡是涉及到统计量的分布问题,一般联想到用分布,t分布和F分布的定义进行讨论。

随机变量

如果将随机试验的结果数量化,比如抛硬币,用 1 代表正面,用 0 代表反面。如果将这个数量化的结果用一个变量X表示,X就是随机变量,根据实验结果的不同而不同。正规的定义是:设E是随机试验,样本空间是S={e},如果对于每一个e属于S,都有一个实数X(e)与之对应,这样就得到一个定义在S上的单值函数X=X(e),称为随机变量。如果X能取到的值是有限个或者可列无限个,则X称为离散性随机变量。

 

  5.若已知AB=0,则将B的每列作为Ax=0的解来处理。

9、若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化X~N(0,1)来处理有关问题。返回搜狐,查看更多

概率分布

如果离散性随机变量X的所有取值为 $x_k(k=1,2,...)$,X取各个值得概率为:

$large P{ X=x_k }=p_k$

称为离散性随机变量X的概率分布或者分布律。

 

  6.若由题设条件要求确定参数的取值,联想到是否有某行列式为零。

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分布函数(Cumulative distribution fucntion)

对于非离散性随机变量X,其可能的取值不能一一列举出来,所以不能用像离散性随机变量那样用分布律来吗描述,为此引入随机变量分布函数的概率。

设X是一随机变量,x是任意实数,函数:

$large F(x) = P { X leq x }$

称为X的分布函数。虽然对离散性随机变量,可以完全用分布律来描述,但为了数学上的统一,定义了对离散性随机变量和非离散性随机变量都适用的分布函数。

 

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